そういえば数日前に「あ、これblogに書こう」と思ったネタがあったんだよなぁ。そうそう、高校生クイズの件だ。9月3日のオンエアだったから……数日前どころか2週間近く経っちゃってるよ。しかもネタは数学の問題。そっち系アレルギーの方、すんません。

気になった数学の問題は2つ。それぞれ以下のような問題文だったと思う。

正一万角形のすべての対角線の数は?

ロト6のすべての組み合わせを購入した場合、その合計金額は?

最初の問題は比較的簡単だ。公式(後述します)を知っていれば一瞬で計算できるが、論理的な思考を巡らせることができれば、たとえ公式を知らなくても導き出せる。

まず、多角形のひとつの頂点から対角線が引ける条件を考えてみる。対角線とは「多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分」と定義されるが、なおかつ「そのうちの辺を除く線分」という条件を含む……いや、もうちょっと分かりやすく説明すると、ある頂点Aから対角線を引くことのできない相手(別の頂点)は、ずばり、頂点Aの両端の頂点である。両隣の頂点には対角線じゃなくてすでに「辺」が存在しているからね。さらに、頂点Aから頂点A自身には線分自体が引けないから、正n角形の頂点Aから引ける対角線の数はn-3本ということになる、と。

これを頂点Aだけでなくすべての頂点に当てはめると、正n角形にはn(n-3)本の対角線が引けると思いがちだが、ここで見落としてはいけないのは「重複がある」ということだ。たとえば頂点Aから頂点Cに引いた線分は、頂点Cから頂点Aに引いた線分と同じである。つまり、すべての対角線だと思った線分は各々が二重にカウントされている。これを勘案すれば、公式はn(n-3)/2となる。平易な書き方をすれば、正n角形のすべての対角線の本数は、n×(n-3)÷2である。

ようやっと公式が導き出せたところで、クイズの解答をば。n=10000として公式に当てはめてみると、10000×9997÷2=4998万5000本。ちなみに高校生は即答していた。

ありゃ、1問目だけで結構な字数になっちゃったか。続きは、また。